Bon alors, résultat des courses : c'est réparé !
J'ai tout d'abord changé le faisceau électrique qui alimente le fameux boîtier accolé à la boite sans résultat.
Puis je changé le boitier. Et là, ça marche !!!
Je pense qu'il y avait un problème sur les 2 éléments d'ou la difficulté à diagnostiquer la panne.

D'ailleurs la prise qui se fixe sur le boitier n'était pas belle.

Elle a subit un choque car elle est cassée. Peut-être que l'humidité pénétrait par là ?

Voici le nouveau faisceau...

... avec une prise toute neuve.

Le fameux boitier avec les 4 bornes électriques (2 pour les feux de recul et les 2 autres pour la sécurité démarrage). L'axe du sélecteur de la boite passe par le trou ménagé dans le boitier. Le petit levier en plastique est manœuvré par le sélecteur.

Le boitier à sa place sur le coté gauche de la boite.
(oui, je sais, c'est sale
)
J'ai ouvert le vieux boitier en faisant sauter les rivets. C'était pas beau la-dedans. C'est sale, humide et gras.

C'est visiblement rentré par le joint torique qui est sensé assurer l'étanchéité autour du petit levier en plastique qui pivote autour de l'axe du sélecteur.